完成直方图均衡化

已知：

• 图像大小：$64\times 64$
• 总像素数： $MN=64×64=4096$
• 灰度级数：3比特，所以 $$L = 2^3 = 8$$灰度级为：$0,1,2,3,4,5,6,7$

一、先写出原始归一化直方图

你已经给出了：$$p_r(r_k)=\frac{n_k}{MN}$$

二、求累计分布函数 CDF

直方图均衡化的核心就是先求累计概率：$$s_k = T(r_k) = (L-1)\sum_{j=0}^{k} p_r(r_j)$$

因为这里 $L=8$L=8，所以：$$L-1=7$$

先算累计概率：

三、代入均衡化变换公式

计算：$$s_k = 7 \times \text{CDF}$$

得到：

四、把新灰度级量化为整数

因为输出仍然是3比特图像，所以新灰度也只能取：$0,1,2,3,4,5,6,7$

通常教材里会采用四舍五入：$$s_k = \text{round}(7\times \text{CDF})$$

于是得到映射关系：

所以均衡化映射函数为：$0→1,1→3,2→5,3→6,4→6,5→7,6→7,7→7$

五、得到均衡化后的直方图

现在把原来每个灰度级的像素数，按照新映射加到对应的新灰度级上。

映射汇总

• 原来灰度 0 的 790 个像素 → 新灰度 1
• 原来灰度 1 的 1023 个像素 → 新灰度 3
• 原来灰度 2 的 850 个像素 → 新灰度 5
• 原来灰度 3 的 656 个像素 → 新灰度 6
• 原来灰度 4 的 329 个像素 → 新灰度 6
• 原来灰度 5 的 245 个像素 → 新灰度 7
• 原来灰度 6 的 122 个像素 → 新灰度 7
• 原来灰度 7 的 81 个像素 → 新灰度 7

于是均衡化后的像素数为：

六、写出均衡化后的归一化直方图

再除以总像素数 $4096$：

七、最后结果怎么写

如果你要把答案完整写成作业格式，可以直接写成下面这样：

1. 均衡化变换函数

$$s_k = \text{round}\left[(L-1)\sum_{j=0}^{k} p_r(r_j)\right] = \text{round}\left[7\sum_{j=0}^{k} p_r(r_j)\right]$$

2. CDF计算结果

$$[0.19,\ 0.44,\ 0.65,\ 0.81,\ 0.89,\ 0.95,\ 0.98,\ 1.00]$$

3. 灰度映射关系

$$0\to1,\ 1\to3,\ 2\to5,\ 3\to6,\ 4\to6,\ 5\to7,\ 6\to7,\ 7\to7$$

4. 均衡化后直方图

$$[0,\ 790,\ 0,\ 1023,\ 0,\ 850,\ 985,\ 448]$$

5. 均衡化后归一化直方图

$$[0,\ 0.1929,\ 0,\ 0.2498,\ 0,\ 0.2075,\ 0.2405,\ 0.1094]$$

八、为什么均衡化后不一定“完全平坦”？

这是很多人第一次学时会疑惑的点。

原因是：

• 图像灰度级只有 8级
• 像素数是离散的
• 映射后多个原灰度可能会落到同一个新灰度级

所以均衡化后的直方图通常只是比原来更均匀，而不是绝对每级都一样高。

这很正常，不是你算错了。

九、补充：有些教材会用“向下取整”

有的书会写成：$$s_k = \left\lfloor 7 \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j) \right\rfloor$$

如果用向下取整，结果会稍有不同。
但大多数课堂题、作业题更常见的是四舍五入。你交作业前最好看看老师课件上的定义是哪一种。

十、这道题最简答案版

你考试时如果时间紧，可以直接写：$$\text{CDF}=[0.19,0.44,0.65,0.81,0.89,0.95,0.98,1.00]$$$$s_k=\text{round}(7\cdot \text{CDF})=[1,3,5,6,6,7,7,7]$$

所以映射关系为：$$0\to1,\ 1\to3,\ 2\to5,\ 3\to6,\ 4\to6,\ 5\to7,\ 6\to7,\ 7\to7$$

均衡化后各灰度级像素数为：$$n_s=[0,790,0,1023,0,850,985,448]$$