H51208-随堂练习-计算题（思路步骤）

计算题

近年来，深度学习在智慧农业中得到了重要应用。卷积神经网络是一种深度学习网络,如1(a)所示,为单通道二维卷积方式,输入特征为1*8*8，其中1为通道数，8*8为特征长度和宽度，采用如1(b)所示的3*3 大小的卷积核进行卷积操作(没有Padding操作，步长为1)。

1(a)：

1(b):

(1)请输出卷积操作后的特征图。

(2)得到上述步骤(1)的特征图后，采用2*2大小的池化核进行池化操作(最大池化，步长为1)。请输出池化后的特征图。

(1) 卷积操作

输入：
1 个通道，8×8 矩阵（记为 ( I )）

卷积核：

无 padding，步长 stride = 1，输出尺寸为：

计算方法：
对输出位置 (i,j)，取 (I) 中以 (i,j)为左上角的 3×3 块，与 (K) 逐元素相乘后求和。

我们先看几个典型区域。
注意到 (I) 的结构：左上 4×4 全是 5，右上 4×4 全是 0；左下 4×4 全是 0，右下 4×4 全是 5，中间有一行一列是交界处（第 4 行和第 4 列 是 5→0 或 0→5）。

步骤 1：左上区域（卷积核覆盖全为 5）

左上角 (0,0) 输出：

= (5-5) + (5-5) + (5-5) = 0+0+0 = 0

其实对于全为 5 的 3×3 区域，卷积核每一列的 1,0,-1 对常数 5 运算：
第一列：(1·5 + 1·5 + 1·5 = 15)
第二列：(0)
第三列：(-1·5 + -1·5 + -1·5 = -15)
总和 (15 + 0 - 15 = 0)，所以只要 3×3 块数值相同，结果就是 0。

同理，全为 0 的区域结果也是 0。

步骤 2：考虑边界附近

看 第 3 列和第 4 列 之间（即 5 到 0 的垂直边界在 (I) 的第 3 列和第 4 列之间）。
列 j = 2 时，看卷积核的列：它覆盖 I 的列 2,3,4。
比如取 i=0, j=2 的块（覆盖 I 的行 0,1,2；列 2,3,4）：

卷积核 (K)：
第一列 (1,1,1)：对应 I 列 2 (全 5) → 5+5+5 = 15
第二列 (0,0,0)：对应 I 列 3 (全 5) → 0
第三列 (-1,-1,-1)：对应 I 列 4 (全 0) → 0

总和 15+0+0=15。

所以垂直边界附近会出现非零值。

我们手工分几个区快速算出 6×6 结果：

记输出矩阵 (O)。

区域 A：卷积覆盖全是 5 或全是 0 → 输出 0。
覆盖全是 5 的情况：需要块在 I 的列 0~2,3? 仔细看：
如果块的列范围在 0~2 并且行范围在 0~2 内 → 块内全是 5 吗？
I 行 0~2，列 0~3 全是 5，但是块宽 3，比如 j=1 时列 1~3 块内包含第 3 列（也是 5），所以 j=0,1,2 在行 i=0,1,2 时块内全是 5？不对——j=2 时列 2~4 包含第4列（0），有5有0。

所以我们精确按 3×3 块是否全是同一数值来快速判断。

更好方法：计算卷积等价于对 I 先与 [1,0,-1] 在水平方向做 1D 卷积吗？实际核是垂直边缘检测（因为三行一样），相当于垂直方向的求和乘以水平差分。

核：

这等价于竖直方向的向量 [1;1;1] 与水平方向的向量 [1,0,-1] 的外积。

因此可以分解为：先用 [1,0,-1] 对 I 的每一行做水平卷积，得到中间矩阵 (H)，尺寸 8×(8-2)=8×6（因为水平核长3，stride1）。然后再用竖直核 [1;1;1] 对 H 的每一列做竖直卷积（核长3 stride1），得到 6×6。

先做水平卷积（核 [1,0,-1]）

对 I 的某一行，比如第0行 [5,5,5,5,0,0,0,0]
计算 H(i,j) = I(i,j) - I(i,j+2)（因为 1I(j) + 0I(j+1) + (-1)*I(j+2) 等于 I(j) - I(j+2)）。

第一行 5,5,5,5,0,0,0,0：
j=0: I(0,0)-I(0,2)=5-5=0
j=1: I(0,1)-I(0,3)=5-5=0
j=2: I(0,2)-I(0,4)=5-0=5
j=3: I(0,3)-I(0,5)=5-0=5
j=4: I(0,4)-I(0,6)=0-0=0
j=5: I(0,5)-I(0,7)=0-0=0
所以第0行 H: [0,0,5,5,0,0]

第1行同上： [0,0,5,5,0,0]
第2行：[0,0,5,5,0,0]
第3行（第3行 I 同第0行）：[0,0,5,5,0,0]

第4行 I=[0,0,0,0,5,5,5,5]：
j=0: 0-0=0
j=1: 0-0=0
j=2: 0-5=-5
j=3: 0-5=-5
j=4: 5-5=0
j=5: 5-5=0
所以 [0,0,-5,-5,0,0]

第5行：[0,0,-5,-5,0,0]
第6行：[0,0,-5,-5,0,0]
第7行：[0,0,-5,-5,0,0]

因此 (H)（8×6）：

再做竖直卷积（核 [1;1;1]） 对 H 的每一列

竖直方向长度 8，核长3 stride1，得 6 行输出。
竖直求和：对列中连续三行相加。

第0列：[0,0,0,0,0,0,0,0]
三行相加：
i=0..2: 0+0+0=0
i=1..3: 0+0+0=0
i=2..4: 0+0+0=0
i=3..5: 0+0+0=0
i=4..6: 0+0+0=0
i=5..7: 0+0+0=0
所以全 0。

第1列：同第0列全 0。

第2列：
数值：5,5,5,5,-5,-5,-5,-5
i=0: 5+5+5=15
i=1: 5+5+5=15
i=2: 5+5+(-5)=5
i=3: 5+(-5)+(-5)=-5
i=4: (-5)+(-5)+(-5)=-15
i=5: (-5)+(-5)+(-5)=-15

第3列：同第2列数值完全一样（因为 H 的第3列同第2列）
所以也是 15,15,5,-5,-15,-15。

第4列：全 0 → 全 0
第5列：全 0 → 全 0

因此卷积后特征图 (O)（6×6）：

答案 (1)：

(2) 最大池化 2×2，stride=1

对 O 进行 2×2 最大池化，stride=1。
输入 6×6 → 输出尺寸 (6-2+1)×(6-2+1) = 5×5。

计算左上角第一个池化窗口 (行 0~1, 列 0~1)：

窗口 (行 0~1, 列 1~2)：

窗口 (行 0~1, 列 2~3)：

窗口 (行 0~1, 列 3~4)：

窗口 (行 0~1, 列 4~5)：

这是第一行输出（5个数）。

依次类推，观察 O 的结构，列 2 和 列3 有较大值，其它列为 0。

逐行池化（快速看每 2×2 块最大值）：

O 矩阵重复性很强，可以分区：

• 池化行 0~1（对应 O 的 行0行1）：
  列块 0~1: max(0,0,0,0)=0
  列块 1~2: max(0,15,0,15)=15
  列块 2~3: max(15,15,15,15)=15
  列块 3~4: max(15,0,15,0)=15
  列块 4~5: max(0,0,0,0)=0
  得 [0,15,15,15,0]
• 池化行 1~2（对应 O 的 行1行2）：
  列块0~1:0
  列块1~2: max(0,15,0,5)=15
  列块2~3: max(15,15,15,5)=15
  列块3~4: max(15,0,5,0)=15
  列块4~5:0
  得 [0,15,15,15,0]
• 池化行 2~3（对应 O 的行2行3）：
  列块0~1:0
  列块1~2: max(0,5,0,-5)=5
  列块2~3: max(5,5,5,-5)=5
  列块3~4: max(5,0,-5,0)=5
  列块4~5:0
  得 [0,5,5,5,0]
• 池化行 3~4（对应 O 的行3行4）：
  列块0~1:0
  列块1~2: max(0,-5,0,-15)=0
  列块2~3: max(-5,-5,-15,-15)=-5
  列块3~4: max(-5,0,-15,0)=0
  列块4~5:0
  得 [0,0,-5,0,0]
• 池化行 4~5（对应 O 的行4行5）：
  列块0~1:0
  列块1~2: max(0,-15,0,-15)=0
  列块2~3: max(-15,-15,-15,-15)=-15
  列块3~4: max(-15,0,-15,0)=0
  列块4~5:0
  得 [0,0,-15,0,0]

答案 (2)：